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高一数学知识点必修一:二次函数

2020-05-03 15:45:01高一132

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  I.定义与定义表达式

  一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:

  y=ax^2+bx+c

  (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)

  则称y为x的二次函数。

  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

  II.二次函数的三种表达式

  一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

  顶点式:y=ax-h^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]

  交点式:y=ax-x?x-x?[仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线]

  注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:

  h=-b/2ak=4ac-b^2/4ax?,x?=-b±√b^2-4ac/2a

  III.二次函数的图像

  在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,

  可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

  IV.抛物线的性质

  1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

  x=-b/2a。

  对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。

  特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

  2.抛物线有一个顶点P,坐标为

  P-b/2a,4ac-b^2/4a

  当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上。

  3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

  当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

  |a|越大,则抛物线的开口越小。

  4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

  当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;

  当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

  5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

  抛物线与y轴交于(0,c)

  6.抛物线与x轴交点个数

  Δ=b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

  Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

  Δ=b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)

  V.二次函数与一元二次方程

  特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,

  当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),

  即ax^2+bx+c=0

  此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

  函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

  1.二次函数y=ax^2,y=ax-h^2,y=ax-h^2+k,y=ax^2+bx+c各式中,a≠0的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:

  解析式

  顶点坐标

  对称轴

  y=ax^2

  0,0

  x=0

  y=ax-h^2

  h,0

  x=h

  y=ax-h^2+k

  h,k

  x=h

  y=ax^2+bx+c

  -b/2a,[4ac-b^2]/4a

  x=-b/2a

  当h>0时,y=ax-h^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,

  当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.

  当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=ax-h^2+k的图象;

  当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=ax-h^2+k的图象;

  当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=ax-h^2+k的图象;

  当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=ax-h^2+k的图象;

  因此,研究抛物线y=ax^2+bx+ca≠0的图象,通过配方,将一般式化为y=ax-h^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

  2.抛物线y=ax^2+bx+ca≠0的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是-b/2a,[4ac-b^2]/4a.

  3.抛物线y=ax^2+bx+ca≠0,若a>0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时,y随x的增大而减小.

  4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:

  1图象与y轴一定相交,交点坐标为0,c;

  2当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点Ax?,0和Bx?,0,其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

  a≠0的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|

  当△=0.图象与x轴只有一个交点;

  当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.

  5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0a<0,则当x=-b/2a时,y最小大值=4ac-b^2/4a.

  顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.

  6.用待定系数法求二次函数的解析式

  1当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:

  y=ax^2+bx+ca≠0.

  2当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=ax-h^2+ka≠0.

  3当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=ax-x?x-x?a≠0.

  7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.

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