2016高三数学集合复习资料大全

　　第1讲 集 合
　　一．【课标要求】
　　1．集合的含义与表示
　　（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
　　（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
　　2．集合间的基本关系
　　（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
　　（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；
　　3．集合的基本运算
　　（1（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
　　（3）能使用Venn二．【命题走向】
　　的直观性，注意运用Venn预测2010题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：
　　（1）题型是1个选择题或1（2
　　三．【要点精讲】
　　1
　　（1a的元素，记作aA；若b不是集合A的元素，记作bA；
　　（2
　　确定性：设x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A
　　指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，
　　无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
　　（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
　　列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
　　描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。
　　具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
　　注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
　　（4）常用数集及其记法：
　　非负整数集（或自然数集），记作N；
　　正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；
　　有理数集，记作Q；
　　实数集，记作R。
　　2．集合的包含关系：
　　（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或AB）；
　　集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B； （2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；
　　3．全集与补集：
　　（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；
　　（2）若S是一个集合，AS，则，CS=x|xS且xA称SA的补集；
　　（3）简单性质：1）CSCS=A；2）CSS=，CS=S
　　4．交集与并集：
　　（1）一般地，由属于集合A且属于集合BA与B的交集。交集ABx|xA且xB。
　　（2）一般地，由所有属于集合AA与B的并集。并集ABx|xA或xB
　　的关键是“且”与“或”挖掘题设条件，结合Venn
　　5．集合的简单性质：
　　（1）AAA,BBA;
　　（2）ABBA;
　　（3）AAB;
　　（4）ABABA;ABABB；
　　（5）CS（A∩B）=（CSA）∪（CSB），CS（A∪B）=（CSA）∩（CSB）。
　　四．【典例解析】
　　题型1：集合的概念
　　2009湖南卷理某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__
　　答案 ：12解析 设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有15x人，只喜爱乒乓球的有
　　由此可得15x10xx830，解得x3，所以15x12，即 所10x人，
　　求人数为12人。 例1．（2009广东卷理）已知全集UR，集合Mx2x12和
　　Nxx2k1,k1,2,的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有

　　A. 3个C. 1个答案解析 由
　　例2．的值 为 答案 D
　　解析 ∵D.
　　,
　　题型2：集合的性质
　　2例3．2009山东卷理集合A0,2,a,B1,a,若AB0,1,2,4,16,则a的值为 
　　A.0 B.1 C.2 D.4
　　答案 D
　　2 a216解析 ∵A0,2,a,B1,a,AB0,1,2,4,16∴∴a4,故选D.
　　a4
　　【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.
　　随堂练习
　　1. 广东地区2008年01月份期末试题汇编设全集U=R，A=x∈N︱1≤x≤10，B= x∈R︱x
　　2+ x－6=0，则下图中阴影表示的集合为 （ ）
　　A．2 B．3
　　C．－3，2 D．－2，3
　　2. 已知集合A=y|y-a+a+1y+aa+1>0,B=y|y-6y+8≤0，若2222 A∩B≠φ，则实数a的取值范围为（ ）．

　　解

　　A∩B＝φa由a∴a即A∩B其补集,评注
　　例4．已知全集S1,3,x3x22x，A=1,2x如果CSA0，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x，若不存在，说明理由
　　解：∵CSA0；
　　∴0S且0A，即xx2x＝0，解得x10,x21,x32
　　当x0时，2x1，为A中元素；
　　当x1时，2x3S当x2时，2x3S
　　∴这样的实数x存在，是x1或x2。
　　另法：∵CSA0
　　∴0S且0A，3A
　　∴xx2x＝0且2x3
　　∴x1或x2。
　　点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当x0时，322x1”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号CSA0是两层含义：

　　0S且0AB,求q的值。解：由m（1）m解（1）得解（2）得又因为当q所以，q题型3例5．A,函数gx（1）求集合A、B
　　（2）若AB=B,求实数a的取值范围．
　　解 （1）A＝x|x1或x2
　　B＝x|xa或xa1 
　　（2）由AB＝B得Aa1B，因此a12所以1a1,所以实数a的取值范围是1,1
　　例6．（2009宁夏海南卷理）已知集合A1,3,5,7,9,B0,3,6,9,12,则AICNB
　　A.1,5,7 B.3,5,7
　　C.1,3,9 D.1,2,3
　　答案 A
　　解析 易有ACNB1,5,7，选A

　　题型4例7．（1，则
　　MN）
　　A．C． 答案
　　例8设全集合Bx|解：|a1∴Acosx1,x2k，∴x2kkz
　　∴Bx|x2k,kz
　　当a1时，CA[a2,a]在此区间上恰有2个偶数。
　　a12a0 aa2
　　4a222、Aa1，a2，，2，，k，由A中的元素构成两个相应，akk≥2，其中aiZi1
　　的集合：
　　Sa，baA，bA，abA，Ta，baA，bA，abA．其中a，b是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的aA，总有aA，则称集合A具有性质P．
　　（I）对任何具有性质P的集合A，证明：n≤kk1； 2
　　（II）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．
　　解：（I

　　因为0又因时，aj，即n≤（II（1T． 如果ab故a可见，（2）对于a，bT，根据定义，aA，bA，且abA，从而ab，bS．如果a，b与c，d是T的不同元素，那么ac与bd中至少有一个不成立，从而abcd与bd中也不至少有一个不成立，
　　故ab，b与cd，d也是S的不同元素．
　　可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，
　　由（1）（2）可知，mn．
　　例9．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
　　解：赞成A的人数为50×3=30，赞成B的人数为530+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集B。
　　设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B
　　不赞成的学生人数为事合都x+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为3
　　x33－x。依题意30－x+33－x+x+

　　
　　+1=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人，例10 －200＋200题型7例11a解：由由2x1<1，得<0，即－2　　a22，于是0≤a≤1。
　　a23因为AB，所以
　　点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。
　　例12．已知an是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A=an,Sn1|n∈N*,B=x,y| x2－y2=1,x,y∈R。 4n试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明： （1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； （2）A∩B至多有一个元素；
　　（3）当a1≠0时，一定有A∩B≠。
　　na1anSS1
　　,则na1+an,这表明点an,n的2n2n
　　S111
　　坐标适合方程yx+a1,于是点an, n均在直线y=x+a1上。
　　222n
　　11yxa122（2）正确；设x,y∈A∩B,则x,y中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组1

　　x2y21解：（1）正确；在等差数列an中，Sn=消去y得：当a1当a1,故

　　∴A∩（3A据2样的x0,y0的。
　　的取值范围.
　　分析：关键是准确理解AB 的具体意义，首先要从数学意义上解释AB意义，然后才能提出解决问题的具体方法。 解：
　　的
　　命题方程x22x2m40至少有一个负实数根,
　　设Mm|关于x的方程x22x2m40两根均为非负实数, 42m303
　　则x1x2202m,
　　2
　　x1x22m40
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　　33
　　Mm|2m设全集Um|0m|m
　　22
　　m的取值范围是
　　UM=m|m<-2.
　　解法二命题方程的小根x12m302m312m31m2.
　　（解法三）设fxx22x4,这是开口向上的抛物线，其对称轴x10，则二次函数性质知命题又等价于f00m2,
　　注意，在解法三中，fx的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。
　　（Ⅱ）已知两个正整数集合A=a1,a2,a3,a4,
　　Ba1,a2,a3,a4,其中a1a2a3a4
　　若ABa1,a4,且a1a410,且AB,A、B.
　　注意“正整数”这个条件的运用，
　　2222
　　1a1a2a3a4,a1a2a3a4,ABa1,a4,只可能有a1a1a12
　　而a1a410,a49,a4a,
　　21若a2a4,则a23,ABa3,,
　　2
　　2
　　222
　　a3a394124a35;
　　2若a3a4,则a33,a23,与条件矛盾,不合;综上,A1,3,5,9,B,81（Ⅲ）设集合A1,Bx,y|4x2x2y50,
　　2
　　2
　　2
　　Cx,yk,b,使ABC分析：正确理解ABC
　　,
　　,并转化为具体的数学问题.
　　,必须AC
　　且BC
　　,
　　要使ABCACBC
　　y2x1由k2x22kb1xb210, ykxb
　　当k=0时，方程有解xb1,不合题意；
　　2
　　4k21
　　当k0时由12kb14kb10得b①
　　4k
　　2
　　2
　　2
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　　4x22x2y50又由4x221kx52b0,
　　ykxb
　　20k12
　　由241k1652b0得b②，
　　8
　　2
　　由①、②得bk
　　1201,而b, 4k8
　　∵b为自然数，∴b=2，代入①、②得k=1
　　点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。 题型6

　　例13B=C=D=则集合A、例14[1,2]，都有2x，都有
　　|2x1（1）设（2）设0000（3）设xA,任取xl1,2,令xn12xn,n1,2,,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|xkl
　　解：
　　对任意x[1,2],2x2x,x[1,2],32x5,152,所以
　　Lk1
　　xk||x2x1|H。
　　1L
　　2x1,2
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　　对任意的x1,x2[1,2]，
　　|2x12x2||x1x2|
　　3
　　2
　　12x12
　　12x11x21x22
　　，
　　12x12
　　12x11x21x2，
　　3 所以0<
　　2
　　12x12
　　12x11x21x22
　　
　　2,

　　3
　　0|LK1x2x1。 1L
　　点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖
　　五．【思维总结】
　　集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。
　　1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、
　　、、=、CSA、∪，∩等等；
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　　2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；
　　3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
　　① 区别∈与、与、a与a、φ与φ、1,2与1,2； ② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ
　　③若集合A中有nnN个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2，所有真子集

　　n
　　A的 ；